SISTEM PERSAMAAN LINEAR & PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR & PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

PROGRAM LINEAR

1. Menentukan Nilai Optimum

Hal yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan soal dengan program linier :

a. Tentukan model matematikanya

b. Gambar grafik dari model tersebut

c. Tentukan daerah himpunan penyelesaian

d. Tentukan titik-titik verteks (pojok)

2. Persamaan Garis

a. Persamaan dengan gradien m melalui P (x₁, y₁) adalah y - y₁ = m (x - x₁)

b. Persamaan garis yang melalui dua titik P (x₁, y₁) dan Q (x₂, y₂) adalah :

c. Garis Yang Membagi Bidang Menjadi Dua Bagian

3. Program Linear

Di dalam program linier kita akan menemukan sebuah fungsi linier yang disebut fungsi tujuan atau

fungsi objektif dan sebuah sistem pertidaksamaan linier yang disebut kendala atau batasan.

Program linier untuk dua variabel dapat ditulis dengan :
Maksimum , dengan batasan :

, Atau

Minimun , dengan batasan :


Persoalan yang ada adalah bagaimana menentukan nilai x dan y yang terdapat pada kendala yang membuat fungsi tujuan f (x,y) menjadi optimum (maksimum/minimum).

Contoh :
Tentukan nilai maksimum : , dengan batasan :

Jawab :
Himpunan Penyelesaian dari sistem Pertidaksamaan : adalah daerah yang diarsir pada grafik dibawah ini :


Titik-titik ekstrim dari himpunan penyelesaian (HP) adalah :
O (0,0); A (2,0); C (0,2) dan

Titik A merupakan titik potong garis 3x + y = 6 dengan sumbu x, yaitu:
y = 0 --> 3x + 0 = 6

x = 2

Jadi A (2,0)

Titik C merupakan titik potong garis x + 2y = 4 dengan sumbu y, yaitu :

x = 0 0 + 2y = 4

y = 2

Jadi C (0,2)

Titik B merupakan titik potong garis 3x + y = 6, dengan garis x + 2y = 4, yaitu :


Titik O merupakan titik potong garis x = 0 dengan y = 0
Nilai f (x,y ) = 4x + y pada setiap titik ekstrim adalah :

f (o) = f (0,0) = 4 (0) + 0 = 0

f (A) = f (2,0) = 4 (2) + 0 = 8

f (C) = f (0,2) = 4 (0) + 2 = 2

Nilai f (x, y) paling besar adalah 8, yang diperoleh pada titik ekstrim A (2,0)

Melukis Irisan Pada Objek Ruang

Writen by Ardhi Prabowo at 11:17:00 PM

Assalamu'alaykum wr.wb.
Selamat Pagi Sobat Indonesia, mohon maaf, hari ini saya posting artikel yang tak ada hubungannya dengan karya ilmiah. Namun karena saya merasa artikel ini masih ada hubungannya dengan kegiatan akademik, hehehe, saya post saja disini.
Untuk perkuliahan saya menggunakan blog yang di sini, sekaligus tempat sampah artikel saya, artinya semua artikel saya ada disana.

Ok sobat kita mulai artikelnya ya,
Bismillahhirrohman nirrohiim...

Irisan bidang dengan suatu bangun ruang

Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan bidang alpha (α).

Definisi 1:
Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua bagian.

Definisi 2:
Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.

Pertanyaan konsep:
Manakah alas dari sebuah kerucut?
Manakah alas dari sebuah limas?
Manakah alas dari sebuah kubus?
Manakah alas dari sebuah balok?

Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan

Catatan:

Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.


Materi Irisan #1
Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris.

Teorema 1:
Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang.

Bukti: (diserahkan mahasiswa sebagai latihan)

Permasalahan (1)
Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan langkah-per-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus seefisien mungkin.

Langkah 1: Melukis kubus lengkap.

Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik P, Q, dan R.

Langkah 2: Menemukan sumbu afinitas.

Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah menghubungkan ketiga titik tersebut.

Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas. Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.
Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD. Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE.

Langkah 3: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain
(dalam proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba dengan sisi yang lain terlebih dahulu)

Perhatikan bahwa titik P telah terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha. (Why?)
Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik potong bidang alpha dan bidang ADHE. (ingat kembali teorema : melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis)

Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE, perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas (Why?), sebut titik potongnya adalah titik M1.


Pertanyaan:
Apakah M1 terletak di ADHE?
Apakah P terletak di ADHE?

Tugas:
Hubungkan M1 dan P sampai memotong HE. Sebut perpotongan M1P dan HE dengan nama titik U.

Hasil lukisan adalah sebagai berikut:
Catatan:
Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE. Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.

Langkah 4: Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.

Seperangkat tugas yang harus dikerjakan:
Perpanjang DH dan PU, sehingga berpotongan di M2. (Mengapa hal ini diperbolehkan?)
Perpanjang DC sehingga berpotongan dengan sumbu afinitas di M3.


Pertanyaan:
Apakah M2 terletak di CDHG?
Apakah M2 terletak di bidang alpha?
Kalau begitu, disebut apakah M2?

Apakah M3 terletak di CDHG?
Apakah M3 terletak di bidang alpha?
Kalau begitu, disebut apakah M3?

Saya akan menghubungkan M2 dengan M3.

Apakah M2.M3 memotong GH?
Apakah M2.M3 memotong CG?

Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S.

Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?

Catatan:
Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi. Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.

Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

10 September 09

duritajam.web.id. Ehm.. ndak susah kok kalo kalian mau sedikit aja meluangkan waktu untuk menggambar dan sekaligus menanamkan konsep. Ketika kalian memperoleh materi tentang koordinat cartesius dan kordinat kutub dan disuguhi dengan beberapa rumus, sangat mungkin kalian jadi bingung dangan rumus tersebut. Saya sih punya sedikit tips untuk kalian..
Tipsnya adalah menggambar ! itu saja:
Coba kalian perhatikan dua gambar dibawah ini:



Dua gambar tersebut menunjukkan titik yang sama tetapi posisinya disebut dengan cara yang berbeda. Gambar yang pertama adalah dengan koordinat cartesius dan yang kedua dalah dengan koordinat kutub. Dan masing-masing bisa saling dihubungkan,
Pertama, jika diketahui sebuah titik maka bisa dinyatakan dalam koordinat kutub dengan cara:

1. Kalian harus tw konsep tentang phytagoras, maka kalo ndak bisa kebangetan
2. Masih ingat kan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku? yup, jadi
3. Jadi sekarang kita bisa mengkonversi dari koordinat cartesius ke koordinat kutub,